y=ax^2+bx+c y=a(x+m)^2+k y=a(x-x1)(x-x2)
二次函数怎么求解析式
二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点二次函数解析式怎么变形高中数学，也是中考必考内容。本文试以2006年中考题为例，说明求二次函数解析式的常用方法，以期对同学们学习有所帮助。
二次函数常见的表达形式有：
（1）一般式： ；
（2）顶点式： ，其中点（m,h）为该二次函数的顶点；
（3）交点式： ，其中点 为该二次函数与x轴的交点。
例1. （南通市）已知抛物线 经过A，B，C三点，当 时，其图象如图1所示。求抛物线的解析式，写出顶点坐标。
图1
分析：由图象可知，抛物线经过A（0，2），B（4，0），C（5，-3）三点，因此，可以借助二次函数一般式求出其解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标。
解：设所求抛物线的解析式为 （ ）。由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）。
解之，得
抛物线的解析式为
该抛物线的顶点坐标为 。
点评：这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息。已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式。要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围 。
例2. （泰州市）如图2，有一横截面是抛物线的水渠，水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的A点，另一端露出水面并靠在水渠边缘的B点，标杆有1m浸没在水中，露出水面的部分与水面成 的夹角（标杆与抛物线的横截面在同一平面内）。以水面所在直线为x轴，过点A垂直于水面的直线为y轴，建立如图2所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式（结果保留根号）。
图2
分析：要求解析式，必须知道抛物线上交点的坐标。显然，由已知条件可以求出点A与点B的坐标。由于点A是所在抛物线的顶点，因此可以用抛物线的顶点式 。
解：设AB与x轴交于点C，可知 。
过点B作 轴于点D
设所求水渠横截面抛物线的解析式为 。
将点B的坐标代入，有 。解之，得 。
因此，该水渠横截面抛物线的解析式为 。
点评：解答此类问题的关键在于将实际问题的条件转化成点的坐标，再根据点的特征选择适当的函数表达式。
例3. （江西省）一条抛物线 经过点 与 。求这条抛物线的解析式。
分析：解析式中的a值已经知道，只需求出 的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点 的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线 ，这样又可以从抛物线的顶点式入手。
解： 抛物线 经过点（ ）和 ，
这条抛物线的对称轴是直线 。
设所求抛物线的解析式为 。
将点 代入，得 ，解得 。
这条抛物线的解析式为 ，即 。
点评：当点M（ ）和N（ ）都是抛物线上的点时，若 ，则对称轴方程为 ，这一点很重要也很有用。
例4. （常德市）如图3，在直角坐标系中，以点A 为圆心，以 为半径的圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E。若抛物线 经过B，C两点，求抛物线的解析式，并判断点D是否在抛物线上。
图3
分析：解题的关键在于求出点B和点C的坐标，因此需要求出线段OB，OC的长，这可根据圆的性质解决。由于点B与点C都在x轴上，因而可以根据二次函数的交点式 求出其解析式。
解：由 ，易得
在 ，
。所以点D的坐标为（0，-3）。
设解析式为 ，由条件知 ，
抛物线的解析式为
即
当 时， ，所以点D（0，-3）在抛物线上。
点评：解这类题将点的坐标与线段的长互相转化至关重要，但要注意坐标的符号。
最后，留两道题给同学们练习。
1. （2006年长春市）二次函数 的图象经过点M（1，-2），N（-1，6）。求二次函数 的关系式。 （答案： ）
2. （2006年攀枝花市）已知抛物线 与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式为 ，线段CM的长为 。求这条抛物线的解析式。（答案： ）