1． 函数概念 函数概念是微积分的基础，也是本章的重点。理解函数概念需要把握以下几个方面： （1）对应法则（规律）和定义域是函数定义中的两个要素。 因此，两个函数仅当它们的对应规律和定义域都相同时，才是两个相同的函数。 （2）关于由解析表达式给出的函数的定义域，分两种情况：在不考虑函数的实际意义时，约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集高中数学必修一函数知识点讲解；在实际问题中，还需根据问题的实际意义来确定。 （3）记号f 和f(x) ，有着本质的区别。 参考资料：
高一函数基本知识
第一个函数的定义域为x≥1 ，第二个函数的定义域为 x≥1 x≤-1，这是一个不同点
把第一个函数还原得到√（X+1)＾2（X-1） 完全跟第二个函数的式子完全不一样。
注：（X+1)＾2为（X+1)的平方
高一函数知识
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1。定义的理解：函数是一种两个数集元素之间的对应关系（又叫函数关系）这种关系可以用f来表示。函数的表示有列表法，图像法，解析法。 已知A={1,2} B={0，3}写出所有从A到B的函数。 解：从A到B的函数有：f1: 1→０，２→０ ｆ２：１→３，２→３ ｆ３：１→０，２→３ ｆ４：１→３，２→０ 共４种 ２。定义域问题：函数定义域是指自变量的取值范围。一个完整的函数不仅要有解析式而且要有定义域。判断两个函数是否相同不仅要看解析式还要看定义域。 例如 判断y=x/x^2与y=1/x是否为同一函数。 解 因为它们有相同的定义域，而且解析式x/x^2=1/x,所有是同一函数。 抽象函数定义域的求法： 三种类型 （1）。已知y=f(x)定义域A,求y=f(p(x))定义域B.由x属于A得到p(x)εB解出x即可 如已知y=f(x)定义域[0,8]则y=f(x^2-1)定义域的求法为：8>=x^2-1>=0 解出 3>=x>=1即[1,3] （2）。已知y=f(p（x))定义域B 求y=f(x)的定义域A 因为y=f(p(x))的定义域B 令t=p(x) 求出x属于B时的t的范围就是y=f(t)的定义域 也就是y=f(x)的定义域。 如 已知y=f(x^2-1)的定义域为[1,3]，求y=f(x)定义域 解 令t=x^2-1 ,因1<=x<=3 所以0<=t<=8 y=f(t)的定义域[0,8] y=f(x)定义域[0,8] （3）。已知y=f(p(x))求y=f(g(x))的定义域 用上边的方法由y=f(p(x))的定义域求出y=f(x)定义域，然后再求出y=f(g(x))定义域 3。值域问题；求函数的值域必须看函数的定义域。 求函数值域的几种常见方式 (1）直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a不等于 0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数 的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}； 二次函数的定义域为R 当a>0时，值域为{y|y≥(4ac-b²)/4a}； 当a<0时，值域为{y|y≤(4ac-b²)/4a} 例1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x≤1) ②y=x²-2x+3 解：①∵-1≤x≤1，∴-3≤3x≤ 3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y≤5， ∴值域是y∈[-1，5] ②y=x²-2x+3 ∵1>0,∴y(min)=(4ac-b²)/4a=[4×1×3-（-2）²]/4×1=1 即函数的值域是{y|y≥2}2． 二次函数在定区间上的值域(最值)： ①f(x)=x²-6x+12 x∈[4,6] 因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系数1>0 所以f(x)=x²-6x+12 在x∈[4,6]是增函数 所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12 f(x)的值域是[4,12] ②f(x)=x²-6x+12 x∈[0,5] 因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系数1>0 所以f(x)=x²-6x+12 在x∈[0,3]是减函数，在x∈(3,5]是增函数 所以f(x)min=f(3)=3 而f(0)=12 f(5)=7，所以f(x)max=f(0)=12 f(x)的值域是[3,12] (3)察看法求y=(√x)+1的值域 ∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞) (4)配方式求y=√(x²-6x-5)的值域 ∵-x²-6x-5≥0可知函数的定义域是[-5,-1] ∵-x²-6x-5=-(x+3)²+4因为-5≤x≤-1 所以-2≤x+3≤2 所以0≤(x+3)²≤4所以-4≤-(x+3)²≤0 终于得到0≤-(x+3)²+4≤4所以0≤√(x²-6x-5)≤2 所以y=√(x²-6x-5)的值域是[0,2] (5).图像法求y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域 解：因为y=-2x+2(x<-3) y=8 (-3≤x<5) y=2x-2(x≥5) 自己画图像由图可知y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域是[8，+） (6)判别式法求y=1/(2x²-3x+1)解 ∵2x²-3x+1≠0∴函数的定义域是{x｜x∈R,且x≠1, x≠1/2} 顶 3 13:18 回复
hqzx63 2位粉丝 2楼 将函数变形可得2yx²-3yx+y-1=0当y≠0时, 上述关于x的二次方程有实数解Δ=9y²-8y(y-1)≥0所以y≤-8或y≥0 当y=0时，方程无解，所以y=0不是原函数的值 所以y=1/(2x²-3x+1)的值域是(-∞,-8]∪(0,+∞) （7）换元法求y=2x－√（x-1)的值域 解令t=√（x-1)显然t≥0以x=t²+1所以y=2(t²+1)-t=2t²-t+2=2(t-1/4)²+15/8 因为t≥0所以y=2x－√（x4。单调性问题： （1）证明函数在指定区间的递增和递减问题 证明 f(x)=1+x/√ｘ在（０，１〕上是递减的。 证明：任取ｘ１，ｘ２ε（０，１〕 ｘ１＞ｘ２ ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＝（√ｘ１－√ｘ２）（√ｘ１√ｘ２－１）／√ｘ１√ｘ２ 因为 √ｘ１－√ｘ２＞０，√ｘ１√ｘ２－１＜０，√ｘ１√ｘ２＞０ 所以 ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＜０ 函数在（０，１〕上递减。 一般情况下 证明ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２）可以采用作差法，作商法。 （２）求单调区间问题 ①.定义法 例题 已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。 解 分析函数在R+上的单调性 任取x1>x2>0 Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2) =(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1) 令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0 因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1 当3X2^2-1>=0时 即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的 同理 当3X1^2-1<=0时 即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的 故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3) 因此 a=根号3/3 一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。 ②.图像法 例题 求y=x+3/x-1的单调区间 解 函数定义域为（-，1）并（1，+) Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1 由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。 函数的图像是解决这类问题的关键。 ③.性质法 性质：增+增=增 减+减=减 y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性 当k<0有相反的单调性 y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性 例题 求y=x^3+x的单调区间。 解因为y=x是增函数，当x>=0时，y=x^3是递增的，当x<0时，y=x^3是递增的，所以y=x^3是R上的增函数。 由性质可知，函数y=x^3+x的单调区间为R. ④.复合法 u=p(x) y=f(u)复合后的函数为：y=f(p(x））它们的单调性为：同增异减。 例题 求y=根号(x-1)(x+1)的单调区间。 解 令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u 当x>=1时 u=(x-1)(x+1)递增 当x<=-1时 u=(x-1)(x+1)递减 Y=根号u递增 所以 原函数的单调增区间为[1,+) 减区间为（-，-1] 5。求参数问题 （1）恒成立问题 m≥f(x)转化为m≥f(x)的最大值，m≤f(x)转化为m≤f(x)的最小值。 例题 已知m≥x^2+2x+3 xε[2,3]时恒成立，求m的范围。 解：令y=x^2+2x+3 得y最大值为30 所以m≥30 (2)单调性问题 例题 已知y=x^2+2x+2在（a,+∞)上递增，求a的取值范围。 解：y=x^2+2x+2的增区间为[-1,+∞) 所以a≥1 -1)的值域是[15/8,+∞) 13:18 回复
hqzx63 2位粉丝 3楼 6。复合函数的奇偶性问题 记F(x)=f[g(x)]——复合函数，则F(-x)=f[g(-x)]， （1）如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]， 当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数； 当f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。 （2）如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。 结论：F(X)=f(g(x))的奇偶性 若 g(x)奇，f(x)奇 则 F(X)奇 若g(x),f(x)中至少有一偶函数，则 F(X)偶 例题：判断F(X)=(X^2+1)^3（-2≤X≤2)的奇偶性。 解：定义域关于原点对称 u=g(x)=x^2+1(-2≤x≤2)是偶函数 f（u)=u^3 是奇函数 所以 原函数是偶函数